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北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题

2024年1月22日

1.找角人48「面积为3，人*4“二，求屈・元的值

邕四面体械!）体积为6「8,8（：8^1^0，48=80=05=2"，求异面直线心

与此的夹角

3,在正方形^03所在的平面内找一点匕使得八尸/反"咕1，人"。/，汽"均为等腰

三角形.米^的个数

4一设（/+X—1）3=4+口卢+“。+4^巧+4::1）（）一/二求

”・苗・外42^-4-名十一、4勿出・丹内〜口皿的值

5.2X2为4。内角.乂外二为实故来以下三式中恒成立的个假

x一+V’+:--2］:510』-22X51”6*2个七0、仁20

『+，一+二一-21:5111.4+2二1*11/一2个七。5,20

X2+）广+二二+2〉:乩门工+2=411夕・2个，8宙「20

6.&出（中求3索"』*4泣18十18如（’的最大值

7在平面直角坐标系9,中，方程"1,+，‘+2丁+1卜（*-2，+3）一表示插0!求111的取

值范国

&&48（冲.48=3,8「=4，』（『5,分别在2:配上各取一点。艮使01：平分

仙长的面积求口^长度的最小值

9小儿。为正实数满足"+8+0=1求0+而+"的最大值

也等差微列［|"，中，为〉0.公差4V0.如（-1，求最大的正整数0使邑〉0

".首项是登数的等差数列.公差4=4前门喷和2=2024.求所有0值的和

12.复平面1+:=1与日=1交点个数

13.。、卜《、^豆区、0+8+。+4=10.求16+/+山+力’+巧+广+也6+4

14.整数列［8」."上0，4=1对V"*1有匕；山一=人匕,，装为固定正整数，来使

心必=2024成立的卜的个III一

10

15-使20,恰青2今事政储的正餐假。的值为

16.设（1+右+"）=4+包右+小".4'/^0（，.6.，6.452'［则打皿一^-

17，用6神不可鼻色染正方体的卜个面不明面II色不同，正方体旎状后修色相圈入为是同

钟中色，削趾色的/敝宵多少？

1包X毛衣.〃1）“2打“4）卜161卜国41不18过2024的正叠敷中可以作为/（灯

也收值的个II为^^

1%从口，20"中任取涌数“.6（可以相同）.富，+下个位为8的・辜

1.答案2或一2

解析5"4=!」8・」《飞出』=2金11/=赤，解得箭11.4=弓

若4=^.奥1"=，4、『一24卜；二而满足题意.此时」乩.行=事1二=2；若

/=弓期4方7^=4・《一!;=-2.所以浜・左=2或一2

解析建立空间直角坐标急不妨设00.0,0）.0（力10.0）.8（0,0.力！）设

48:=X2.）/=12

小义2-）.则卜，十&何心6解得…人尸扫’比时

瓦山-271.6力）

8？=（0,0,-273）因此］码=伞-2可+/+12=屈工瓦=26或4^

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3.答案:9

解折首先两条对角线的交点为所求，兄外分别以四个顶点为18心以边长为半授作四个圆,

则它们在正方形里面和外面的交点一扶得8个合计是9个

4答案:2冲

解析取三次单位报巾工1.易证疗+出4|=0.+史九出2=一^-9，

2222

在原式中.令*二创，则有2研=4+乌侬+生苏+。，・+"而也3\对上式取实部可得

2小'=%一;/-!%+/一：4…+6皿-!/时一;&,因此所来多项式的值为21,1

5答案：三个

选定*为主元.对1式配方可得

X2-2（二&加用-〉4：8（）工+》/+二".21二+111.4

=（x・（二^11"一丁。45「））.+），十二:-2^XIII^-（：^8^^^：^^）*

=（X一（二5III"一丫85「）『+）/十二：・2）二5五（8+「）-（二加II8-丁8与（）.

=（工