国家开放大学2022春《1079高等代数专题研究》期末考试真题及答案-开放本科.doc

试卷代号：1079

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

高等代数专题研究试题答案及评分标准

（供参考）

2022年7月

一、单项选择题（本题共2（

1.D2.C3.C4.D5.B

）分，每小题4分）

二、壊空题（本题共2（

）分，每小题4分）

6.1

7.4

8.AX=AX

9.对称矩阵

10.非退化（可逆）三、计算题（本题共45分，每小题15分）

11.解：a4=l.a0=12.可能的有理根是±1,±2,±3,±4,±6,±

12..（5分）

因为/（±1）*0J（±3）。0J（±4）。0,/（±6）。0J（±12）丰0J（-2）。0

故±1.-2.±3.±4.±6.+12都不是根.

而f（2）=0.故2是/（、）的根.……（10分）

用综合除法验证.2是,（%）的二重根.……（15分）

12.解：把ai,a2,a3,a4写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换，化成阶梯形

矩阵：

（10

分）

由此可知aa,a4是”的一组基·dimW=3.....（15

1（2

分）1A-1

13.

解：该二次型的矩阵为A=A42.（5

分）

-124.

利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可

得

1

A-1

4-I2>0,A

-1

4

2

=-4A2-4A24-8>0

（15分）

解得一2V4V1.....（15

四、证明题（本题15分）

14.证明：必要性.若实对称矩阵4与B相似，则存在可逆矩阵7,使得B=T-】AT.

由此可得

xBw=\XE-B\=|AE-T-MTI=|7*T|·\AE-A\·|T|=\XE-A\=xA^因此.

人与B有相同的特征多项式.……（6分）分）

分）

充分性.若实对称矩阵4与B有相同的特征多项式，则它们有相同的特征值

%,….”.于是，存在正交矩阵P与Q.使得

P~rAP=

足

·

，Q-'BQ=

人2

·

·

进而

P~XAP=Q—BQ

B=QP^APQ-1=(PQT)_i4(PQT)

因此A与B相似.……(15分)

试卷代号：1079

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

高等代数专题研究试题

2022年7月

一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）

1.下列运算中，（

A.a,b=a》

C.a·b=-

）是整数集Z上的代数运算.

B.a■b=VaF

D.a·b=a—b

b

2.按通常数的加法与乘法，复数域C可以看成实数域R上的线性空间，则它的

维数是（

A.0

C.2

3.

）.

B.1

D.无限

设A为71阶方阵，

则A可对角化的充分必要条件是（

A.A有71九个不同特征值

）.

B.A有n个实特征值

C.A有处个线性无关的特征向量D.A有n个不同的特征向量

4.关于正交变换的叙述，下列选项中错误的是（

A.正交变换保持向量的长度不变

B.正交变换保持向量的内积不变

C.正交变换把标准正交基变为标准正交基

D.正交变换在任一组基下的矩阵都是正交矩阵

）.

5.A是正定矩阵，则下列结论错误的是（

）.

A.|A|>0

C.A非退化

B.A的元素全是正实数

D.A的主对角线上的元素全为正

二、填空题（本题共20分，每小题4分）

6.复数域上的不可约多项式的次数是—次的.

7.向量组。=（1,0,1）,#=（0,1,2）,Y=（-2,3,Q）线性相关，则

a=__.

8.虱是一个71阶方阵，如果存在非零”维列向量/及数入，使得—，则称数

入是方阵A的一个特征值，称X^A的属于特征值入的特征向量.

9.设。是欧氏空间/的对称变换，贝此在/的标准正交基下的矩阵是—.

10.双线性函数「是非退化的充分必要条件是它的度量矩阵是—的.

三、计算题（本题共45分.每小题15分）

11.求多项式/（%）=%4—5x3+llx2-16x+12的有理根.

12.设向量组

的=（1,-1,1,0）,a=（一2,1,0,2）,%=（一1,0丄2）,%=

2

（1,1,一2,-4）,求W=L（al