算法设计与分析耿国华第二章.pptVIP

2.4.3主方法Chapter2定理2.1设a≥1，b>1为常数，f(n)为一函数。T(n)由以下递归方程定义：其中n为非负整数，则T(n)有如下的渐近界限：(1)若对某些常数ε>0，有那么(2)若那么(3)若对某些常数ε>0有且对常数c<1与所有足够大的n，有那么2.4.3主方法Chapter2先来分析它的含义。在上述的每一种情况下，我们都把函数f(n)与函数进行比较，递归方程的解由这两个函数中较大的一个决定。第一种情形中，函数比函数f(n)更大，则解为：第二种情形中，这两个函数一样大，则解为：第三种情形中，f(n)是较大的函数，则解为:2.4.3主方法Chapter2我们还可以用图2-5表示方程(2.1)，从另一个角度解释主定理。图2-5主定理的图示2.4.3主方法Chapter2图2-5所示树中叶子结点数为：对于第一种情形，从根到叶结点开销的权重呈几何级数增加。叶结点占有整个权重的恒定比例。对于第二种情形，每一层的权重大致相同。对于第三种情形，从根到叶结点开销的权重呈几何级数减小2.4.3主方法Chapter2例2.10解递归方程解：由递归方程可得，a=4，b=2且f(n)=n。因此，选取,则递归方程满足主定理的第一种情形，因此2.5分治法的基本思想Chapter2分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。当问题规模n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。2.5分治法的基本思想Chapter2分治法的特点：（1）子问题相互独立且与原问题形式相同；（2）反复分治，使划分得到的小问题小到不可再分 时，直接对其求解。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。2.6分治法的适用条件Chapter2分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：⑴该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；⑵该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。⑶利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；⑷该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。2.7分治法的基本步骤Chapter2分治思想设计算法时一般包含的步骤第一步，分解（割）。将待解决的问题划分成足够小的问题,相互独立，与原问题形式相同的子问题；第二步，求解。若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题第三步，合并。自下而上，将子问题的解逐层合并，得到原问题的解。2.7分治法的基本步骤Chapter2分治法的一般算法框架为：divide-and-conquer(P){if(|P|<=n0)adhoc(P);//解决小规模的问题dividePintosmallersubinstancesP1,P2,...,Pk；//分解问题for(i=1,i<=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的解各子问题returnmerge(y1,...,yk);//将各子问题的解合并为原问题的解}2.7分治法的基本步骤Chapter2在对采用分法思想设计的算法进行分析时，可用如下递归方程描述算法的运行时间T(n)。在该递归方程中，如果问题的规模足够小(n≤c)，可以直接求解，则如果问题规模n>c,还需被分解为k个规模大小为n/m的子问题，且分析问题与合并问题解的时间分别为D(n)和C(n)，则对于该方程，设n为m的幂，记D(n)=C1(n)+C2(n)则该递归方程的解为：2.8分治法典型示例2.8.1n个数中求出最大/最小值2.8.2快速排序2.8.3大整数乘法2.8.4折半查找2.8.5矩阵乘法Chapter22.8.1分治举例——n个数中求出最大最小值Chapter2问题描述：从给定的n个数中，设计算法在最坏情况下最多进行用次比较，可找出给定n个数的最大和最小值。问题分析：