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动态法测量杨氏模量

南昌大学大学物理实验报告

学生姓名:___________学号:_______________专业班级:______________

实验时间:_____时_____分第____周星期:______座位号:________

动态法测量杨氏模量

一.实验目的

1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用。

二．实验原理

如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向，

（1）

yL

0xx

图1

式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2;ρ为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J=。

横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0，L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有

（2）

由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为,则可得到下列两个方程

(3)

(4)

如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为

（5）

于是可以得出

y（x，t）=（）（6）

式中

(7)

式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到

cosKL?chKL=1（8）

采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：

KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137，……（9）

其中第一根=0对应试样静止状态；第二根记为=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图2所示，第三根=7.853所对应的振动状态如图3所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为

E（10）

端自由的条件下，检测出共振频率。显然这两条矛盾的。支撑点离节点越远，可以检测到的共振信号就越强，但试样受外力越大，这样产生的系统误差就越大。图4为两端自由杆基频弯曲振动波形。

0.224L0.776L

图4

为了消除误差，可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时，式样的共振频率，具体测量法是改变支撑点的位置，逐步测出试样的共振频率f，设试样端面离支撑点的距离为x，以x/l为横坐标，共振频率f为纵坐标，用orgin耦合一下数据，求出最低点。

三、实验仪器和装置

电源，铜棒，螺旋测微计，游标卡尺，天平，示波器，信号发生器，换能器。

图5

四、实验步骤

1，用螺旋测微计测量试样的直径。

2，游标卡尺测量试样的长度。

3，用天平测量棒的质量。

4，支撑法测量步骤：

安装试样棒。将棒